Algebraische Geometrie by Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Sei Y eine algebraische Teilmenge des An (k). Dann ist die Inklusionsabbildung ι : Y → An (k) eine regul¨are Abbildung. Die auf den Koordinatenringen induzierte Abbildung ist einfach die Quotientenabbildung ι∗ : k[x1 , . . , xn ] → k[x1 , . . , xn ]/I(Y ). 4. Sei Y eine algebraische Teilmenge des An (k). Sei weiter P = {O} = A0 (k) der Punkt, dessen Koordinatenring gerade k ist. F¨ ur jeden Punkt (a1 , . . , an ) ∈ Y ist dann die Abbildung a : P → Y, O → (a1 , . . 9) eine regul¨ are Abbildung.

H¨aufig wird ein quasi-koh¨ arenter Modul u ¨ber X auch eine Garbe von OX -Moduln genannt. 2. 1) F(φ∗ a). Die in offensichtler Weise zu definierende Komposition zweier Modulhomomorphismen ist wieder ein Modulhomomorphismus. Weiter besitzt diese Komposition Identit¨ aten. Damit k¨ onnen wir von der Kategorie QCoh(X) der quasi-koh¨ arenten Moduln u ¨ber X sprechen. 3. Sei X = Spec A ein affines Schema. 2) ˜ den f¨ ur jeden B-wertigen Punkt a : Spec B → Spec A von X definieren. Wir nennen M zu M assoziierten quasi-koh¨ arenten Modul u ¨ber Spec A.

5) 35 3 Die Kategorie der affinen Variet¨aten die mengentheoretische Umkehrfunktion von φ. Wir untersuchen nun die Wirkung von ψ auf der regul¨aren Funktion t auf Y . Es ist ψ ∗ (t) = t ◦ ψ = ψ : Z → k. 6) Angenommen ψ ∈ k[Z]. Dann g¨abe es ein Polynom f in k[x, y], so daß die Gleichung y = xf f¨ ur alle Punkte auf Z erf¨ ullt ist. 7) gelten, was nicht m¨ oglich ist. Damit ist also ψ ∈ / k[Z] und im Bild von ψ ∗ liegen daher nicht nur regul¨ are Funktionen. (Daß ψ ∈ / k[Z] k¨ onnen wir auch so formulieren: die algebraische Gleichung t2 − x = 0 f¨ ur t hat in k[Z] keine L¨ osung, wohl aber im Quotientenk¨orper von k[Z], n¨amlich t = xy .

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