Algebraische Zahlentheorie by Jürgen Neukirch

By Jürgen Neukirch

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, smooth und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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3). Aufgabe 4. Zeige, daß der Diskriminantenbetrag ldK I > 1 ist für jeden algebraischen Zahlkörper K #

Unter der irrigen Annahme, daß dies im allgemeinen der Fall ist, daß also die Klassenzahl hp des Körpers

Wegen ba = o ist b ~ a- 1 . Ist umgekehrt xa ~ o, so ist xab ~ b, also x E b wegen ab = o. Daher ist b = a- 1 • Ist a ein gebrochenes Ideal und c E o, c i= 0, mit ca ~ o, so ist (ca)- 1 = c-la- 1 das Inverse von ca, also aa- 1 = o. 9) Korollar. Jedes gebrochene Ideal a besitzt eine eindeutige Produktdarstellung a = IJp"P p mit Vp E Z und Vp = 0 für fast alle p. Mit anderen Worten: J K ist die durch die Primideale p i= 0 erzeugte freie abelsche Gruppe. 3) eine Primzerlegung besitzen. Daher besitzt a eine Primzerlegung im Sinne des Korollars.

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