BASIC NUMBER THEORY by ANDRE WEIL

By ANDRE WEIL

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5) sind mühelos zu verifizieren. Der Beweis der letzten beiden beruht im wesentlichen auf der Vertauschbarkeit der Kokettenabbildungen mit dem Operator ∂ und folgt unter Beachtung dieser Tatsache unmittelbar aus der Definition der Abbildung δ. Wir überlassen die Einzelheiten dem Leser. 6) Satz. Ist A ein G-Modul und g ein Normalteiler von G, so ist die Sequenz Inf Res 0 −→ H 1 (G/g, Ag ) −−→ H 1 (G, A) −−→ H 1 (g, A) exakt. Beweis. Die Injektivität der Inflation erkennt man folgendermaßen: Sei x : G/g → Ag ein 1-Kozykel, dessen Inflation Inf x ein 1-Korand des G-Moduls A ist.

3) die Tatsache formuliert, dass die exakte Kohomologiesequenz Isomorphiesätze liefert, wenn in ihr ein G-Modul mit lauter trivialen Kohomologiegruppen auftritt. Eine besondere Klasse solcher G-Moduln sind die G-induzierten Moduln, die wir im folgenden zu vielen Beweisen und Definitionen heranziehen werden. 9) Definition. Ein G-Modul A heißt G-induziert, wenn er sich als direkte Summe A= σD σ∈G mit einer Untergruppe D ⊆ A darstellen lässt. Insbesondere ist der G-Modul ZZ[G] = σ∈G σ(ZZ·1) G-induziert, und es ist sofort klar, dass sich die G-induzierten Moduln einfach als die Tensorprodukte ZZ[G] ⊗ D mit beliebigen abelschen Gruppen D darstellen.

46 Teil I. Kohomologie der endlichen Gruppen f¯ ãâáæèçåäëêéìðïîí Aq ) H 0 (G, H 0 (G, B q ) Kor Res δq Kor δq f¯ H 0 (g, Aq ) f¯ H q (G, A) Kor Res δ Res H q (G, B) H 0 (g, B q ) δq q Kor f¯ H q (g, A) Res H q (g, B) sind alle vertikalen Quadrate kommutativ, so dass sich die Kommutativität des oberen Diagramms auf das untere überträgt. h. der Gruppen H q (G, A)p aller Elemente von H q (G, A) von einer p-Potenzordnung: H q (G, A) = H q (G, A)p . p q Oft nennt man H (G, A)p den p-primären Teil von H q (G, A).

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